Задача 65649

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.

Решение

  Обозначим точки пересечения сторон квадратов и продлим их стороны (см. рис.).

  Рассмотрим параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁. Соответствующие стороны этих параллелограммов перпендикулярны, значит, углы параллелограммов равны. Кроме того, соответствующие высоты параллелограммов равны сторонам данных квадратов, то есть также соответственно равны.
  Следовательно, параллелограммы равны и совмещаются композицией поворота на 90° и параллельного переноса, а соответствующие диагонали BD и B₁D₁ параллелограммов равны и перпендикулярны.
  Аналогично доказывается равенство и перпендикулярность отрезков MP и LK.
  Значит, диагонали четырёхугольников KDLB и B₁MD₁P соответственно равны и пересекаются под одним и тем же углом, откуда (поскольку площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними) и следует утверждение задачи.

Замечания

Заметим, что заштрихованные четырёхугольники – трапеции. Поскольку их высоты одинаковы, то  BL + DK = B₁M + D₁P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	10-11
задача
Номер	3