Задача 65667

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что  AK = BM.  Кроме того,  ∠AMC = 60°.  Докажите, что  AC = BK.

Решение 1

На продолжении медианы AM за точку M отметим такую точку X, что  MX = BM  (рис. слева). Заметим, что треугольник BMX – равносторонний. Треугольники BXK и CMA равны по двум сторонам и углу между ними.

                       

Решение 2

Отразим вершину B относительно прямой AM; получим точку Y (рис. в центре). Заметим, что  BM = MY  и   ∠BMY = 120°,  откуда видно, что треугольник CMY – равносторонний. Отрезки AK и CY параллельны и равны; следовательно, AKYC – параллелограмм. Значит,  AC = YK,  а отрезки YK и BK равны из симметрии относительно AM.

Решение 3

Отметим такую точку Z, что MCAZ – параллелограмм. Несложно видеть, что AKZ – равносторонний треугольник. Значит, ZKMB   равнобедренная трапеция:  BM = KZ,  ∠BMK = ∠MKZ = 120°.  Отрезки AC и MZ равны как стороны параллелограмма, отрезки MZ и BK – как диагонали равнобедренной трапеции.

Замечания

1. Возможны и другие решения.

2. Ср. с задачей 65672.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2016
Номер	79
класс
Класс	8
задача
Номер	3