|
|
 |
Условие
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.
Решение 1
Для начала покажем, что ответ единственен. Рассмотрим два равносторонних пятиугольника ABCDE и A'B'C'D'E', в которых ∠A = ∠A' = 120°,
∠C = ∠C' = 135°. Можно считать, что длины сторон пятиугольников равны 1. Заметим, что по двум сторонам и углу между ними равны треугольники EAB и E'A'B', а также BCD и B'C'D'. Значит, BE = B'E', BD = B'D', и треугольники BDE и B'D'E' равны по трём сторонам. Следовательно,
∠BDE = ∠B'D'E'. Из равнобедренных треугольников BCD и B'C'D' видно, что ∠CDB = ∠C'D'B' = 22,5°. Таким образом,
∠CDE = ∠CDB + ∠BDE = ∠C'D'B' + ∠B'D'E' = ∠C'D'E', что и означает единственность ответа.
Докажем, что существует удовлетворяющий условию пятиугольник, у которого ∠D = 90°. Сначала построим прямоугольный треугольник CDE, с катетами CD и DE, равными 1. Тогда . Затем построим такую точку B, что ∠ECB = 90°, BC = 1. Тогда
. Теперь построим точку A так, что ∠AEB = ∠ABE = 30°. Тогда ∠BAE = 120°, AB = AE = 1.
Решение 2
Пусть длины всех сторон пятиугольника равны 1. Из треугольника BDC находим, что ∠BDC = 12,5°. Обозначим ∠BDE = φ. По теореме косинусов По той же теореме
Значит,
то есть 2φ = 135°, φ = 72,5°, а ∠D = ∠EDB + ∠BDC = 90°.
Ответ
90°.
