Задача 65693

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Даны квадратные трёхчлены  f₁(x),  f₂(x), ...,  f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

Решение

  Пусть i-й трёхчлен имеет вид  f_i(x) = ax² + bx + c_i.  Тогда   f₂(x₁) = f₁(x₁) + (c₂ – c₁) = c₂ – c₁,  поскольку  f₁(x₁) = 0.  Аналогично получаем равенства
f₃(x₂) = c₃ – c₂,  ...,  f₁₀₀(x₉₉) = c₁₀₀ – c₉₉  и  f₁(x₁₀₀) = c₁ – c₁₀₀.
  Складывая, получаем  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁(x₁₀₀) = (c₂ – c₁) + ... + (c₁ – c₁₀₀) = 0.

Ответ

Только 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1