Задача 65694

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Обухов Б.

Дан равнобедренный треугольник ABC,  AB = BC.  В описанной окружности Ω треугольника ABC проведён диаметр CC'. Прямая, проходящая через точку C' параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка C'P.

Решение

Так как CC' – диаметр Ω, то  ∠C'AC = 90°.  Поскольку  MP || BC,  то  ∠MPA = ∠C = ∠A.  Значит, треугольник AMP – равнобедренный, и поэтому его высота MD является и медианой. Так как  AD = DP  и  AC' || DM,  то DM – средняя линия треугольника C'AP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2