|
|
 |
Условие
В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.
Решение
Оценка. Пусть среди сфер есть r красных и 2016 – r зелёных. Так как две сферы касаются не более чем в одной точке, количество синих точек не превосходит r(2016 – r) = 1008² – (1008 – r)² ≤ 1008².
Предъявим пример с таким количеством синих точек. Пусть l – некоторая прямая, α – плоскость, перпендикулярная l и пересекающая её в точке O, а ω – окружность с центром O и радиусом 1, лежащая в α. Построим 1008 красных сфер одинакового радиуса r < 1 с различными центрами R1, R2, ..., R1008, лежащими на
ω.
Пусть G1, G2, ..., G1008 – различные точки на l, удалённые от O на расстояния d1, d2, ..., d1008. Тогда расстояние между Gi и любой точкой Rj равно . Значит, если мы построим зелёную сферу с центром Gi и радиусом
, она будет касаться всех красных сфер. При этом все точки касания будут попарно различными, поскольку они лежат
на отрезках вида RjGi, которые не имеют общих точек, кроме концов. Значит, в нашей конструкции действительно будут отмечены
1008² синих точек.
Ответ
10082 = 1016064 точки.
Замечания
Все красные сферы в этом примере получаются друг из друга вращением вокруг прямой l. Поэтому, если зелёная сфера, центр которой лежит на l, касается одной красной сферы, то она касается и всех красных сфер.
