Задача 65720

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Точку внутри выпуклого четырёхугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырёхугольник оказался разделён на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырёхугольник вписанный.

Решение

Пусть выбранная точка O внутри четырёхугольника ABCD соединена с точкой K на стороне AB. Углы OAK и OBK опираются на общую хорду равных окружностей. Их сумма не равна 180°, поскольку меньше суммы углов треугольника OAB. Поэтому эти углы равны. Значит,  OA = OB.  Аналогично все вершины четырёхугольника ABCD равноудалены от O.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1