|
|
 |
Условие
Пусть p – простое число, большее 10k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.
Решение
Через XY будем обозначать число, полученное приписыванием к числу X справа числа Y. (X и Y могут содержать незначащие нули слева.)
Первый способ. Пусть число CAD получено из исходного числа CD. Так как эти числа делятся на p, то на p делится и число
CAAD = (CAD – CD )·10k + CAD.
Пусть A = EF и из числа CAD вставкой числа B получено число CEBFD, кратное p. Вычитая из него число CAAD = CEFEFD и сокращая на степень десятки, получим, что число B – FE делится на p. Но последнее число по модулю меньше 10k, то есть меньше p. Следовательно, B = FE, что и требовалось.
Второй способ. В тех же обозначениях, вычитая из CEFD число CD, получим, что CEF – C делится на p. Аналогично из чисел CEDFD и CEFD выводим делимость CEB – CE на p. Домножив CEF – C на подходящую степень десятки и прибавив E к обоим числам разности, заключаем, что CEFE – CE делится на p. Следовательно, CEB – CEFE = B – FE делится на p.
Замечания
8 баллов
