Задача 65801

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Решение

Пусть Z – произвольная точка прямой AB, X, Y – точки пересечения перпендикуляра, восставленного из точки Z к AB, с BC и CA соответственно, O – центр описанной окружности треугольника CXY. Тогда  ∠OCA = 90° – ∠CXY = ∠B,  то есть прямая OC касается описанной окружности Ω треугольника ABC. При этом, если Z равномерно движется по AB, то O также движется равномерно, а когда Z совпадает с A или B, то O лежит на касательной в той же точке к Ω. Таким образом, если A'B'C' – треугольник, образованный касательными, то O делит отрезок A'B' в таком же отношении, в каком Z делит AB. Применив это утверждение к точкам O_a, O_b, O_c и воспользовавшись теоремой Менелая, получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	13