|
|
 |
Условие
На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?
Решение 1
См. первый способ решения задачи 65874. Для неизвестных чисел x1 < x2 < ... < x64 имеем Действительно,
x1x63x64 + x2x63x64 > x1x2x63 + x1x2x64.
Решение 2
Понятно, что 64 неизвестных числа положительны и различны. Если максимум одно из них меньше (не меньше) 2, то попарных сумм и произведений, меньших (не меньших) 4, максимум по 63. Следовательно, определяется, имеются ли два неизвестных числа, меньших 2, или два числа, не меньших 2.
В первом случае для наименьших чисел x и y выполняется неравенство
(x – 1)(y – 1) < 1, то есть xy < x + y. Поэтому наименьшее число на карточках будет произведением.
Во втором случае, взяв два наибольших числа x и y, аналогично докажем, что xy > x + y, и наибольшее число на карточках будет произведением.
Ответ
Всегда.
Замечания
1. Можно даже определить все исходные числа x1 < x2 < ... < x64. Как показано, мы знаем x1x2 и x1x3 (это наименьшие из произведений), а также
x1 + x2 и x1 + x3 (наименьшие из сумм). Тогда мы знаем x1(x3 – x2) и x3 – x3, а следовательно, и x1. Пусть нам уже известны числа x1, ..., xk–1. Тогда x1xk – наименьшее из неопределённых ещё произведений. Значит, мы знаем и xk.
8 баллов.
