Задача 65896

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

На координатной прямой отмечено несколько точек (больше двух). Каждая точка, кроме двух крайних, находится ровно посередине между какими-то двумя отмеченными. Могут ли все отрезки, внутри которых нет отмеченных точек, иметь различные длины?

Решение

Отметим на координатной прямой точки, соответствующие числам 0, 6, 8, 9, 12, 16 (см. рис.). Тогда 6 – середина отрезка  [0, 12],  8 – середина отрезка  [0, 16],  9 – середина отрезка  [6, 12],  12 – середина отрезка  [8, 16].  При этом, длины всех отрезков, не содержащих отмеченных точек, различны: 6, 2, 1, 3, 4.

Ответ

Могут.

Замечания

Существуют и другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2016
класс
Класс	7
задача
Номер	7.3