Задача 65897

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Системы линейных уравнений ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

В трёх клетках таблицы 3×3 стоят числа (см. рисунок). Требуется заполнить числами остальные клетки так, чтобы во всех строках, столбцах и главных диагоналях суммы чисел оказались равными. Докажите, что это можно сделать единственным способом, и заполните таблицу.

Решение

  Первый способ. Пусть в пустой клетке верхней строки стоит число x, тогда сумма чисел в этой строке равна  6 + x.  Для того, чтобы сумма чисел первого столбца была такой же, в пустой клетке этого столбца должно стоять число  x + 2.  Рассматривая диагональ от левой нижней клетки до правой верхней и рассуждая аналогично, получим, что в центральной клетке должно стоять число  x – 2.  Тогда справа от него стоит число  6 – x,  а под ним – число  8 – x  (рис. слева).
  Для того, чтобы суммы чисел третьей строки и третьего столбца были равны  6 + x,  в правой нижней клетке должно стоять число  2x – 5.  С другой стороны, там должно стоять число 7, чтобы сумма чисел во второй диагонали была такой же. Значит,  2x – 5 = 7,  откуда  x = 6.  Следовательно, таблица восстанавливается однозначно (рис. справа), что и требовалось.

  Второй способ. Пусть указанные суммы равны S. Сложив суммы чисел во втором столбце и по диагоналям и вычтя отсюда суммы чисел первой и третьей строк, мы получим S. С другой стороны, это число равно утроенному числу, стоящему в центральной клетке.
  На одной из диагоналей стоят числа 3 и 5, поэтому в центральной клетке стоит 4, а  S = 12.  Теперь все числа в таблице легко восстанавливаются.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2016
класс
Класс	7
задача
Номер	7.4