Задача 65912
|
|
 |
Условие
Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число a, правое – на целое число b, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алёша, наоборот, левое число умножил на b, а правое – на a. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.
Решение
Пусть x – левое число, а y – правое; по условию x + y = S. Тогда у Маши получилось число ax + by, а у Алёши – число bx + ay. Сумма этих чисел равна (a + b)(x + y) = (a + b)S, то есть делится на S. Так как одно из двух слагаемых делится на S, то и другое делится на S.
