Условие
Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если AB = c, AM = m и AN = n.
Решение
Докажем, что АМ·АВ = AN·AC (то есть mc = nAC).
Первый способ. В прямоугольных треугольниках ADB и ADC проведём высоты DP и DQ соответственно (рис. слева). Тогда АР·АВ = AD² = AQ·AC. Так как треугольники ADM и ADN – равнобедренные, то АР = ½ AM и АQ = ½ AN.
Заменив АР и АQ в равенстве АР·АВ = AQ·AC, получим требуемое.
Второй способ. Пусть ∠ANM = α, тогда ∠AОM = 2α. Из равнобедренного треугольника ADM получаем ∠MAD = 90° – α, поэтому ∠В = α. Отсюда следует, что четырёхугольник BMNC – вписанный. Теперь требуемое равенство следует из теоремы об отрезках секущих, проведённых из точки А к его описанной окружности (рис. справа).
Третий способ. Проведём диаметр AE. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и AEM следует, что AB : AE = AD : AM, то есть
АМ·АВ = AD·AE. Аналогично АN·АC = AD·AE.
Ответ
mc/n.
