Задача 65937

Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Решение

  Пусть АВС – исходный треугольник, А₁, В₁, С₁ – середины сторон ВС, СА, АВ соответственно. Так как треугольники АВС и А₁В₁С₁ гомотетичны относительно точки М пересечения медиан (с коэффициентом −½), а центр О описанной окружности треугольника АВС является ортоцентром треугольника А₁В₁С₁, то точка М лежит на отрезке ОН (Н – ортоцентр треугольника АВС) и  НМ = 2МО.

  Поэтому, если центр I вписанной окружности не лежит на одной прямой (прямой Эйлера) с тремя остальными точками, то можно однозначно установить роль каждой из точек в треугольнике АВС. Отметим, что эта прямая проходит не более чем через одну вершину треугольника, так что можно считать, что точки А и В не лежат на ней.
  Итак, I лежит на прямой Эйлера. Так как  ∠OBA = ∠HBC = ^π/₂ – ∠C,  BI является биссектрисой угла НВО. Следовательно, точка I лежит на отрезке ОН, причём  OI = 2IH  (иначе роль точек устанавливается однозначно). По свойству биссектрисы получаем, что  ВО = 2ВН.  Аналогично  АО = 2АН.  Таким образом,  AH = BH = ^R/₂,  где R – радиус описанной окружности треугольника АВС.
  Из гомотетии, указанной выше, следует также, что  АH = 2OA₁  (и эти отрезки параллельны). Кроме того,  ОА₁ = R cos A  (так как
∠OBA₁ = ½ ∠BOC = ∠A).  Поэтому  ^R/₂ = АН = 2R cos A   ⇒  cos A = ¼.
  Точно так же доказывается, что  cos B = ¼.

Ответ

arсcos ¼, arсcos ¼,  π – 2 arсcos ¼.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	16