Задача 65942

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Долбилин Н.

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.
Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в
  а) центре грани,
  б) середине ребра,
если скорость распространения цунами 300 км/час?

Решение

  а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развертке отрезком. Пусть O – центр грани ABC, X – точка на грани ABD и некоторый путь из O в X пересекает сначала ребро AC (рис. слева). Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре AD. Но в эту точку ведёт и путь через ребро AB, через которое в X можно попасть напрямую (рис. в центре).

  Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис. справа).
    Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:     откуда искомая площадь равна  

  б) Рассматривая "двойную" развертку тетраэдра и рассуждая, как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника.

  Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.
  ∠POA = arccos ^OA/_OP = arccos ¾   ⇒   ∠POQ = 2arccos ¾,       а искомая площадь равна    

Ответ

а)    км²;   б)     км².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	21