Задача 66000

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Уравнения в целых числах ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Могут ли три различных числа вида  2ⁿ + 1,  где n – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Решение

Пусть существуют такие различные натуральные числа k, m и n, что  2^k + 1,  2^m + 1  и  2ⁿ + 1  – последовательные члены некоторой геометрической прогрессии. Тогда  (2^m + 1)² = (2^k + 1)(2ⁿ + 1),  то есть  2^2m + 2^m+1 = 2^k+n + 2^k + 2ⁿ.  Но это равенство невозможно в силу единственности представления числа в виде суммы различных степеней двойки.

Ответ

Не могут.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.1