|
|
 |
Условие
Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ωb с центром P проходит через вершину B, а окружность Ωc с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ωb и Ωc имеют общую точку.
Решение
Обозначим через O центр треугольника ABC.
Первый способ. Пусть Ω касается отрезков BQ, QP и PC в точках K, L и M соответственно (рис. слева). В силу симметрии равностороннего треугольника прямые BO и CO проходят через точки M и K соответственно.
Отложим на луче LO отрезок OX = OA (так что X лежит на окружности Ω). Отрезки LX и MB симметричны относительно прямой PO, значит,
PX = PB, то есть точка X лежит на окружности Ωb. Аналогично X лежит и на окружности Ωc.
Второй способ. Окружности Ω и Ωb пересекаются в точке B. Вторая точка B' их пересечения симметрична точке B относительно линии центров PO (рис. справа). Аналогично вторая точка C' пересечения окружностей Ω и Ωc симметрична точке C относительно QO.
Докажем, что точки B' и C' совпадают. Поскольку OB' = OB = OC = OC'; достаточно проверить, что ∠BOB' + ∠COC' = ∠BOC (= 120°). Поскольку прямые PO и QO – биссектрисы углов BOB' и COC', последнее равенство равносильно равенству ∠POQ = 60°.
Но ∠POQ = 180° – ½ (∠BQP + ∠CPQ) = 180° – ½ (360° – ∠B – ∠C) = 60°.
