Условие
Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.
Решение
Пусть B2 и C2 – точки касания ω с AC и AB соответственно, а B1 и C1 – точки, диаметрально противоположные точкам B и C (см. рис.). Тогда точки B1 и C1 симметричны O относительно сторон AC и AB соответственно, откуда ∠OB1P = ∠B1OP, ∠OC1Q = ∠C1OQ,
∠OB1P + ∠OC1Q = 180° – ∠B2OC2 = ∠A = 60°.
∠PB'B = ∠B1B'B = 90°, то есть B' лежит на Гb. Аналогично B' лежит на Гc. Итак, Гb и Гc пересекаются в точке B', лежащей на Ω.
Заметим, что точки B2 и C2 лежат на Гb и Гc соответственно. Пусть продолжение отрезка B'O за точку O пересекает ω в точке X. Тогда
OB·OB2 = OB'·OX = OC·OC2. Первое из этих равенств означает, что точки B, B2, B' и X лежат на одной окружности, то есть X лежит на Гb. Аналогично X лежит на Гc. Значит, X и является второй точкой пересечения Гb и Гc, лежащей на ω.
Замечания
Пусть прямая PQ пересекает прямую BC в точке R. Аналогично можно показать, что окружность Гa с диаметром AR также проходит через две общие точки B' и X окружностей Гb и Гc.
