Задача 66031
|
|
 |
Условие
На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.
Решение
Обозначим проведённые прямые l1, l1, ..., ln, упорядочив их направления по часовой стрелке (рассмотрим произвольную точку плоскости, проведём через неё прямые, параллельные нашим, занумеруем их по часовой стрелке, а потом присвоим нашим прямым те же номера, которые получили соответствующие им новые прямые).
Сначала во все области (конечные и бесконечные) поставим по 1. Для каждой прямой li обозначим через 2Σi разность сумм чисел слева и справа от li (мы считаем, что куски Si и Si+n+1 лежат слева от li). Если Σi > 0, то прибавим по Σi к числам, стоящих в Si+1 и Si+n. При этом все числа Σj при j ≠ i не изменились, поскольку области Si и Si+n+1 лежат по разные стороны относительно каждой прямой, кроме li. Число же Σi стало равно нулю. Если Σi < 0, то вычтем Σi из чисел, стоящих в Si и Si+n+1; при этом Σi станет равна 0, а остальные Σj не изменятся.
Такими операциями мы последовательно сделаем каждое Σi равным нулю, не меняя остальных.
