Задача 66049

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:
  а) наименьшее возможное число призёров турнира;
  б) математическое ожидание числа призеров турнира.

Решение

  а) См. задачу 64440.

  б) Пронумеруем борцов от самого слабого №1 до самого сильного №100. Пусть I_k – индикатор события "k-й борец выиграл оба поединка". Вероятность победить соперника в каждом поединке для k-го борца равна вероятности того, что его соперником оказался один из тех  k – 1  борцов, что слабее. Значит, вероятность победы равна  ^k–1/₉₉.  Вероятность победить оба раза равна  (^k–1/₉₉)²,  поэтому  EI_k = (^k–1/₉₉)².
  Общее количество призёров X равно сумме всех индикаторов, значит,  

Ответ

а) 1;  б) ≈33,5.

Замечания

баллы: 1 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2017
тур
задача
Номер	3