Задача 66141

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Хачатурян А.В., Ильиченкова З.

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

Решение

  Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – данные квадраты, O – центр окружности, M – точка касания окружности со стороной BC (см. рис.).

  Первый способ. Пусть α – искомый угол. Поскольку M – середина гипотенузы прямоугольного треугольника BB₁C, то  ∠MB₁C = ∠MCB₁ = α.  С другой стороны, ∠CMC₁ = ∠MB₁C₁  как угол между касательной и хордой. Следовательно,  ∠MC₁B₁ = 2α.
  Заметим, что радиус окружности равен половине стороны бóльшего квадрата, то есть треугольник B₁OM – равносторонний и
∠MC₁B₁ = ½ ∠MOB₁ = 30°.

  Второй способ. Пусть OQ – перпендикуляр к A₁D₁ (см. рис.). Тогда     Следовательно,  ∠OAQ = 30°,
а  ∠OAD₁ = ∠OAD – ∠OAQ = 15°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	10-11
задача
Номер	1