|
|
 |
Условие
Докажите, что окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона AB равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.
Решение
Пусть I и Ic – центры вписанной и вневписанной окружностей, r и rc – их радиусы, C1 и C2 – точки их касания со стороной AB, C0 – середина этой стороны, a, b и c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр (см. рис.). Тогда AC1 = BC2 = p – a, BC1 = AC2 = p – b, C0C1 = C0C2 = |b–a|/2 (см. задачу 55483). Вписанная окружность касается окружности с диаметром AB тогда и только тогда, когда C0I1 = c/2 – r. По теореме Пифагора это эквивалентно равенству (c/2 – r)² = r² + (b–a/2)², то есть rc = (p – a)(p – b) = rrc (см. задачу 57600 а), откуда и следует утверждение задачи.
Замечания
1. Условие c = rc равносильно также каждому из двух следующих условий:
- сумма длин стороны AB и опущенной на неё высоты равна сумме длин двух других сторон;
- cos C/2 = cos A/2 cos B/2.
2. Более общий факт: если зафиксировать вершины A и B и радиус rc вневписанной окружности, то вписанные окружности всех таких треугольников касаются одной окружности, проходящей через A и B.
