Задача 66153

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кузнецов А.

Неравнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠C = 60°,  вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что  AB' || BC  и  B'A || AC.  Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

Решение

  ∠AB'B = ∠CBB' = ∠ABB',  значит,  AB' = AB.  Аналогично  AB = A'B.  Обозначим  ∠A = 2α,  ∠B = 2β.  Пусть  α > β.
  Обозначим через N середину дуги ACB окружности Ω (см. рис.). Тогда треугольник ABN равносторонний. Поэтому точка A – центр описанной окружности треугольника BNB'. Следовательно,  ∠NAB' = 2∠NBB' = 120° – 2β  и  ∠ANB' = 90° – ½ ∠NAB' = 30° + β.  Аналогично  ∠BNA' = 30° + α,  откуда  ∠B'NA + ∠ANB + ∠BNA' = (30° + β) + 60° + (30° + α) = 180°.  Итак, точка N лежит на прямой A'B'.

  Пусть T – середина меньшей дуги NC окружности Ω. Заметим, что  ∠ANT = ∠ABT = ½ (∠ABN + ∠B) = 30° + β = ∠ANB'.  Значит, точка T также лежит на прямой A'B', и треугольник CDE совпадает с треугольником CNT. Этот треугольник равнобедренный, поскольку  NT = NC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7