|
|
 |
Условие
Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a1, a2, a3, ... и геометрическая b1, b2, b3, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.
Решение
Пусть d – разность первой прогрессии, q – знаменатель второй (можно считать, что q ≠ 1). Тогда b2 – b1 = md (m целое), и при любом натуральном n (в частности, при n = 1 ) число представимо в виде дроби со знаменателем m. Запишем q в виде несократимой дроби. Если её знаменатель больше 1, то знаменатель дроби qm больше m, что противоречит предыдущему. Значит, знаменатель дроби q равен 1.
Замечания
1. 4 балла.
2. Задача также опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №1, задача М2029).
