Задача 66231

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A₁, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B₁. Пусть M – середина отрезка A₁B₁, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A₁B₁N – равносторонний.

Решение

Пусть K – точка пересечения дальних трисектрис (см. рис.). Тогда  ∠K = 60°,  а AA₁ и BB₁ – биссектрисы треугольника ABK. Так как
∠A₁OB₁ = 120°,  то четырёхугольник A₁KB₁O – вписанный. Поскольку KO – биссектриса угла K,  OA₁ = OB₁.  Следовательно,
∠MOA₁ = 60° = ∠A₁OB = ∠BON.  Отсюда  ON = OA₁,  то есть точки A₁, B₁ и N лежат на окружности с центром O. Поскольку центральные углы A₁OB₁, A₁ON и B₁ON равны, то треугольник A₁B₁N – равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	4