Задача 66257

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC  ∠A = 60°,  точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение  AN : MB.

Решение 1

Пусть P, Q – проекции соответственно точки N и центра O описанной окружности на AB (см. рис.). Тогда по условию  MQ = QP.  С другой стороны, Q – середина AB, следовательно,  BM = AP = ^AN/₂  (поскольку в прямоугольном треугольнике APN  ∠A = 60°).

Решение 2

Пусть P – точка на описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная точке A. Точка O делит пополам отрезки AP и MN, значит, AMPN – параллелограмм. Углы A и BMP равны, так как  AC || MP.  Угол ABP прямой, так как опирается на диаметр AP. Итак, треугольник BMP прямоугольный с углом 60°, значит,  AN = MP = 2MB.

Ответ

2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6