Условие
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
Решение 1
Пусть два жука дружат тогда и только тогда, когда соответствующие точки на рисунке соединены сплошным отрезком.
Легко видеть, что расположить жуков на плоскости так, чтобы расстояние между любыми двумя друзьями равнялось 1, можно только изображённым на рисунке способом. Но тогда пунктирный отрезок тоже равен 1, а соединенные им жуки друзьями не являются. С другой стороны, если удалить любого жука, то можно повернуть часть рисунка вокруг одной из соседних точек, обеспечив выполнение условий задачи.
Решение 2
Рассмотрим следующий граф: трапеция ABCD с основаниями BC = 33 и AD = 34 высоты 
составленная из 67 правильных треугольников со стороной 1, и A и D соединены путем длины 33. Очевидно, его нельзя нарисовать на плоскости, соблюдая условие задачи, а граф, полученный из него удалением любой вершины, можно.
Ответ
Неверно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2016 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.4 |
