Задача 66291

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.

Решение

  Первый способ. Из условия следует, что точка М принадлежит, по крайней мере, двум из четырёх треугольников: АВС, ВСD, ACD и ABD. Без ограничения общности можно считать, что М попала внутрь или на стороны треугольников АВС и ABD (рис. слева).   Тогда согласно задаче 55148  AM + CM < AB + BC  и  BM + DM < AB + AD.  Сложив эти неравенства, получим  AM + BM + CM + DM < AB + BC + AB + AD = P_ABCD.

  Второй способ. Через точку М проведём отрезки EF и GH, параллельные сторонам параллелограмма (рис. справа). Они разобьют ABCD на четыре меньших параллелограмма. Из неравенства треугольника следует, что
МА + МС < (AH + HM) + (MF + FC) = (AH + MF) + (HM + FC) = AD + DC.  Аналогично  МB + МD < AB + BC.

  Таким образом, МА + МB + МС + МD < P_ABCD.

Ответ

Периметр параллелограмма больше.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3.2