Задача 66299

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Мухин Д.Г., Ширяев Д.

Четырёхугольник ABCD, в котором  AB = BC  и  AD = CD,  вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что  PQ || AC.

Решение

∠MPD = ∠MBD + ∠BDC = ∠MAD + ∠ADB = ∠MQD.  Следовательно, четырёхугольник MPQD – вписанный (см. рис.), а поскольку
∠DMP = ∠DMB = 90°,  то  PQ ⊥ BD  и, значит,  PQ || AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1