|
|
 |
Условие
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Решение
Пусть A0, B0, C0 – точки касания окружности ω со сторонами BC, CA, AB. Тогда искомые точки A', B', C' таковы, что четырёхугольники A'A0C'C0, B'B0A'A0 и C'C0B'B0 – гармонические (определение см. в замечании к задаче 65800). Действительно, из подобия треугольников BA'C0 и BC0C'; следует, что A'C0 : C0C' = BA' : BC0. Аналогично A'A0 : A0C' = BA' : BC0, поэтому C0A'·A0C' = A'A0·C'C0, то есть четырёхугольник A'A0C'C0 – гармонический.
Сделаем проективное преобразование, сохраняющее ω и переводящее точку пересечения прямых AA0, BB0 и CC0 в её центр (см. задачу 58424). Оно переведёт треугольник ABC в правильный. Тогда треугольники A0B0C0 и A'B'C' тоже будут правильными, а четырёхугольник A'A0C'C0 будет равнобедренной трапецией. Пусть K – середина A0C0. Условие гармоничности ∠C0A'C' = ∠KA'A0 (см. ссылки в задаче 65879) означает теперь, что ∠KA'A0 = ∠A0C0A' = ∠BA0A', откуда A'K || BC || B0C0 (см. рис.).
1-2. Проведём прямые A0C0, BB0 и найдём точку их пересечения K.
3-4. Проведём прямые BC и B0C0 и найдём точку их пересечения L.
5. Проведём прямую KL и найдём точку A' её пересечения с дугой A0C0.
6. Проведём прямую CA' и найдём точку B' её пересечения с ω.
7. Проведём прямую AB' и найдём точку C' её пересечения с ω.
