Задача 66319

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.

Решение

Поскольку треугольники SCE и SCF равны,  ∠SFC = ∠SEC.  Аналогично  ∠SEB = ∠SDB  и  ∠SDA = ∠SFA.  Поэтому
∠SDA + ∠SEB + ∠SFC = ∠SFA + ∠SDB + ∠SEC = ½ (3·360° – (∠ADB + ∠BEC + ∠CFA)).  Но углы ADB, BEC, CFA равны углам, под которыми стороны грани ABC видны из точки ее касания с вписанной сферой, следовательно, их сумма равна 360°.

Ответ

360°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6