Задача 66358

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В выпуклом четырёхугольнике АВСD точка K – середина стороны ВС, а  S_АВСD = 2S_АKD.
Найдите длину медианы КЕ треугольника AKD, если  AB = a,  CD = b.

Решение

  Через точки A и D проведём прямые, параллельные КЕ, до их пересечения с прямой ВС в точках B' и C' соответственно (рис. слева). Тогда AB'C'D – трапеция, а КЕ – её средняя линия.

  При этом  S_АВ'С'D = KE·h,  а  S_АВСD = 2S_АKD = KE·h = S_АВ'С'D,  где h – высота трапеции (рис. справа). Поскольку K – общая середина отрезков ВС и B'C', отсюда следует, что эти четырёхугольники совпадают. Значит,  КЕ = ½ (AB + CD) = ½ (a + b).

Ответ

^a+b/₂.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4.2