Задача 66531

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Попов Л. А.

Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.

Решение

На луче BM за точку M отметим точку E так, что ME = MB (см. рис.). Заметим, что BCED – параллелограмм, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Тогда DE∥ BC, откуда следует, что точка E лежит на прямой AD.

Имеем AB = BD = CE, т. е. ABCE – равнобедренная трапеция. Так как ее углы ABC и BCE равны, то треугольники ABC и ECB равны по двум сторонам (AB = EC, BC = CB) и углу между ними. Тогда равны и их соответственные углы BCA и CBE, откуда следует требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
Класс	8
задача
Номер	3