|
|
 |
Условие
Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?Решение
Пусть $a$ – некоторое положительное число. Треугольник со сторонами $1$, $a$ и $a^2$ существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства: $$ 1 < a+a^2,\quad a < 1+a^2,\quad a^2 < a+1.$$ Первое из этих неравенств выполнено при $a > \frac{1}{\varphi}$, второе – при всех положительных $a$, третье – при $a < \varphi$, где $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ – так называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения $x^2-x-1=0$. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при $a\in\bigg(\frac{1}{\varphi}; \varphi\bigg)$. При таких же $a$ существует треугольник со сторонами $1$, $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a^2}$. Пусть далее значение $a$ принадлежит отрезку $[1; \sqrt{\smash[b]{\varphi}}]\subset \bigg(\frac{1}{\varphi}; \varphi\bigg)$.
В декартовой системе координат $Oxy$ отметим точки $O(0,0)$, $B(1,0)$, точку $A$ в полуплоскости $y>0$, для которой $OA=a^2$ и $AB = a$, а также точку $C$ в полуплоскости $y<0$, для которой $OC =\frac{1}{a^2}$ и $CB =\frac{1}{a}$ (см. рисунок). По доказанному выше такие точки существуют для всех $a\in [1; \sqrt{\smash[b]{\varphi}}]$. Кроме того, треугольники $OAB$ и $OBC$ подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, $\angle AOB =\angle BOC$ и $\angle OAB =\angle OBC$. Поскольку $1 \leqslant a \leqslant a^2$, угол $AOB$, лежащий напротив стороны $a$ треугольника $OAB$, меньше $90^\circ$. Отсюда получаем, что $\angle AOC = 2\angle AOB < 180^\circ$ и $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = \angle ABO + \angle OAB < 180^\circ$. Следовательно, $OABC$ – выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях $a$.
Пусть точка $A$ имеет координаты $(x; y)$, тогда $x^2+y^2 = a^4$ и $(x-1)^2+y^2=a^2$. Из этих уравнений получаем $x = \frac{a^4-a^2+1}{2} =f(a)$ и $y=\sqrt{a^4-f^2(a)}$. Эти выражения непрерывно зависят от $a$ на отрезке $[1; \sqrt{\smash[b]{\varphi}}]$. Аналогично доказывается, что координаты точки $C$ также непрерывно зависят от $a$ на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали $AC$ четырехугольника $OABC$, равная $g(a)$, также непрерывно зависит от $a$ на этом отрезке.
При $a=1$ треугольники $OAB$ и $OBC$ являются равносторонними со стороной $1$, поэтому $g(1)=\sqrt{3}$. При $a=\sqrt{\smash[b]{\varphi}}$ получаем $$ g(\sqrt{\smash[b]{\varphi}}) = AC < AB+BC = \sqrt{\smash[b]{\varphi}}+\frac{1}{\sqrt{\smash[b]{\varphi}}} = \frac{1+\varphi}{\sqrt{\smash[b]{\varphi}}}=(\sqrt{\smash[b]{\varphi}})^3.$$ Значит, непрерывная на отрезке $[1; \sqrt{\smash[b]{\varphi}}]$ функция $g(a)-a^3$ принимает в концах этого отрезка значения разных знаков: $g(1)-1^3=\sqrt{3}-1>0$ и $g(\sqrt{\smash[b]{\varphi}})-(\sqrt{\smash[b]{\varphi}})^3<0$. Поэтому найдется такое значение $a\in (1; \sqrt{\smash[b]{\varphi}})$, при котором $g(a)-a^3=0$ и, следовательно, $OC=\frac{1}{a^2}$, $CB=\frac{1}{a}$, $OB=1$, $AB=a$, $OA=a^2$ и $AC=a^3$. Таким образом, искомый четырехугольник существует.
