Условие
Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.
Решение
Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$, а $U$, $V$ – точки касания прямой $AB$ с вневписанными окружностями, касающимся сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Так как $AV=BU=p$ (полупериметр треугольника), касательные из точки $C_0$ к вневписанным окружностям, касающимся сторон $AC$ и $BC$, равны. Кроме того, линия центров этих окружностей перпендикулярна биссектрисе угла $C$, а значит и биссектрисе угла $A_0C_0B_0$, которая, таким образом, является их радикальной осью. Аналогично биссектрисы углов $C_0A_0B_0$ и $B_0A_0C_0$ являются радикальными осями други пар вневписанных окружностей, т.е. центры вписанных окружностей треугольников $DEF$ и $A_0B_0C_0$ совпадают. Предположим для определенности, что точка $D$ лежит на отрезке $CA_0$. Тогда, если радиус $r'$ вписанной окружности треугольника $DEF$ больше радиуса $r$ вписанной окружности треугольника $A_0B_0C_0$, то $F$ лежит на отрезке $BC_0$, а значит $E$ лежит на отрезке $AB_0$. Если же $r' < r$, то $E$ лежит на отрезке $AB_0$, а значит $F$ лежит на отрезке $BC_0$. Поэтому расстояние от $F$ до прямой $ED$ не меньше расстояния от $C_0$ до этой прямой, т.е. $S_{DEF} \geq S_{C_0DE}$. Аналогично $S_{C_0DE}\geq S_{B_0C_0D} = S_{A_0B_0C_0}=S_{ABC}/4$.
Источники и прецеденты использования
