|
|
 |
Условие
Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.Решение 1
Пусть $AC \cap BD = O$. Будем считать, что $\angle AOB \ge 90^\circ$. Пусть $E$ – четвертая вершина параллелограмма $BECD$ (см.рис.).Решение 2
Будем деформировать $ABCD$, сохраняя вписанную окружность и уменьшая диагонали. Пусть окружность $\omega$ с центром $I$ вписана в $ABCD$. Зафиксируем $\omega$, прямую $l$, проходящую через $A$ и $C$, и параллельную ей прямую $m$, проходящую через $B$. Посмотрим, как меняется длина $AC$ при перемещении $B$ по $m$. Пусть касательная $n$ к $\omega$, лежащая между $l$ и $m$ и параллельная им, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$, окружность $\omega'$ с центром $I'$ и радиусом $r'$ вписана в треугольник $PBQ$. При изменении $B$ коэффициент подобия треугольников $PBQ$ и $ABC$ остается постоянным. Поэтому отношения $PQ : AC$, $r' : r$, а значит, и $r'$, также постоянны.Поскольку $PQ$ равно общей внешней касательной к $\omega'$ и $\omega$, а $r'$ и $r$ фиксированы, длина $PQ$ минимальна при кратчайшем расстоянии $II'$, т.е. при $BI \perp l$. Так как $PQ : AC$ фиксировано, длина $AC$ минимальна в этом же случае.
Передвинем $B$ вдоль $m$ в точку $B_1$, для которой $IB_1 \perp l$, затем передвинем $IB_1$ в направлении $I$ до точки $B_2$, для которой длина $A_2C_2$ равна исходной длине $AC$. Аналогично поступим с точкой $D$. Тогда $A_2B_2C_2D_2$ – четырехугольник, описанный вокруг $\omega$ и симметричный относительно $B_2D_2$, причем $A_2C_2 = AC$ и $B_2D_2 \le BD$.
Поступив аналогично с $A_2$ и $C_2$, получим описанный около $\omega$ ромб $A_3B_3C_3D_3$, в котором $A_3C_3 \le AC$ и $B_3D_3 \le BD$. Для него $$\frac{1}{A_3C_3^2} + \frac{1}{B_3D_3^2} = \frac{1}{4r^2},$$ причем, если $A_3B_3C_3D_3 \neq ABCD$, то хотя бы одно из неравенств $A_3C_3 \le AC$ и $B_3D_3 \le BD$ – строгое.
