|
|
 |
Условие
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
Решение
Первый способ. Обозначим монеты буквами $a, b, c, d, e$. Настя попросит провести взвешивания: $a?b, c?d, ab?cd$. С точностью до симметрии возможны четыре исхода.
1) $a > b, c > d, ab > cd$. Тогда $a$ – тяжёлая монета, $d$ – лёгкая.
2) $a = b, c > d, ab = cd$. Тогда $c$ – тяжёлая, $d$ – лёгкая.
3) $a = b, c > d, ab > cd$. Тогда $e$ – тяжёлая, $d$ – лёгкая.
4) $a = b, c > d, ab < cd$. Тогда $c$ – тяжёлая, $e$ – лёгкая.
Второй способ. Настя отдаст эксперту четыре монеты и попросит взвесить все три разбиения их на пары. Пусть каждая из этих монет получит метку – сколько раз она была на перевесившей чаше. Для каждого вида оставшейся монеты запишем набор меток: настоящая – 2110, лёгкая – 3111, тяжёлая – 2220. Видно, что все эти случаи различаются, и в каждом из них определяется вид обеих фальшивых монет.
Ответ
Может.
Замечания
1. Можно доказать, что других способов у Насти нет.
2. 5 баллов.
