Задача 66716

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Бакаев Е.В., Дворянинов С.

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?

Решение

Предположим, что удалось так разместить отрезок XY. По какую-то сторону от прямой XY окажутся три вершины пятиугольника – пусть A, B и C. Тогда точки A, B, C, X, Y лежат на одной окружности. Она совпадёт с окружностью, описанной около правильного пятиугольника, поскольку имеет с ней три различные общие точки. Следовательно, точки X и Y лежат не внутри пятиугольника. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1