|
|
 |
Условие
Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Решение 1
$\underbrace{7\ldots 7}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}\cdot 7 = \dfrac{7\cdot 10^n -7}{9}.$ Число 10 можно записать как (77 - 7):7, а 9 – как 7 + (7 + 7):7. В качестве $n$ можно взять 77 или 14 = 7 + 7.
Замечание. В этом решении использовано 12 семёрок. Заменив $(77 - 7):7$ на $7 + (7 + 7 + 7):7$ можно обойтись без использования двузначных чисел.
Решение 2
(Будун Будунов) $\underbrace{7\ldots 7}_{14}\cdot\left(\left(\dfrac{77-7}{7}\right)^{7+7}+\dfrac{7}{7}\right) = \underbrace{7\ldots 7}_{28}.$
Ответ
Существует.
Замечания
8 баллов.
