Задача 66726
|
|
 |
Условие
Докажите, что
а) любое число вида 3k – 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
Решение
a) Достаточно заметить, что $k^3 - (k + 3)^3 + (3k + 5)^2 = 3k - 2$.
б) Вычтем из числа, которое нужно представить, такой куб (0, 1 или –1), чтобы результат имел вид 3k – 2, и применим а).
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 7 + 3, 10-11 кл. – 6 + 2.
