Задача 66737
|
|
 |
Условие
Произведение натуральных чисел $m$ и $n$ делится на их сумму. Докажите, что $m + n \leqslant n^2$.
Решение 1
Пусть $d = НОД(m, n), m = ad, n = bd$. По условию, $abd^2$ делится на $d(a + b)$, откуда $abd$ делится на $a + b$. Но так как числа $a$ и $b$ взаимно просты, каждое из них взаимно просто с $a + b$. Значит, $d$ делится на $a + b$, откуда $d^2$ делится на $d(a + b) = m + n$ и, следовательно, $d^2 \geqslant m+n$. Осталось заметить, что $n^2 \geqslant d^2$.
Решение 2
Поскольку $n^2 = n(m + n)- mn$, из условия следует, что $n^2$ делится на $m + n$. Значит, $n^2 \geqslant m + n$.
Замечания
4 балла
