Условие
Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$.
Решение
Пусть $I$ – центр $\omega$. Заметим, что $\angle FYX=\angle ICB=\angle FEX$, т.е. четырехугольник $XYEF$ – вписанный. Кроме того, прямые $BC$, $EF$ и касательная к $\omega$ в точке $Z$ пересекаются в одной точке $T$ – полюсе прямой $AD$ относительно $\omega$. Поэтому $TZ^2=TF\cdot TE=TX\cdot TY$, т.е. $TZ$ – касательная к окружности $XYZ$.
Источники и прецеденты использования
