|
|
 |
Условие
У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?
Решение 1
Пусть какой-то товар куплен за $x$ рублей мелочью. Эта мелочь появилась как сдача при предыдущих покупках. Увеличим стоимость этих покупок на соответствующие величины, в сумме составляющие $x$ рублей, а данную покупку отменим. Аналогично избавимся от всех покупок за мелочь. На каждом шаге количество мелочи уменьшается, поэтому новых покупок за мелочь не появится.
Имеется покупка стоимостью не больше 50 рублей (маленькая), иначе осталось бы меньше половины всех денег. Маленькая покупка только одна, так как вторая маленькая покупка была бы сделана на сдачу за первую, а покупок за мелочь теперь нет.
Разность между сдачей за маленькую покупку и её ценой не больше 99 – 1 = 98 руб. Для каждой другой покупки эта разность отрицательна, и она чётна
(так как сумма цены и сдачи кратна 100, то есть чётна). Значит, эта разность не меньше –98 и не больше –2. Поэтому остальных покупок не больше 98:2 = 49, и за каждую из них отдано не больше двух сторублёвок (иначе указанная разность не больше 99 – 201 < –98). Следовательно, всего сторублёвок было не больше 1 + 2 + ... + 49 = 99, а половина от этой суммы не больше 9900:2 = 4950 < 5000.
Решение 2
Посмотрим, сколько мелочи Петя мог получить.
Рассмотрим самую последнюю дешёвую покупку, которая увеличила количество мелочи. Пусть стоимость этой покупки $x$, тогда перед этим было не более $x - 1$ рублей мелочи, а значит, после этого её станет не больше чем $x - 1 + 100 - x$ = 99 рублей. Так как дорогие покупки количество мелочи не уменьшают, то все предыдущие покупки вместе с рассмотренной дали в сумме не более 99 руб. мелочи. Тем более все дешёвые покупки в сумме принесли не более 99 руб.
Пусть было $n$ покупок дороже 100 рублей. Каждая из них добавляет не более 99 рублей мелочи. Если бы других покупок совсем не было, то на дорогие было бы потрачено не менее 2$n$ сотен, а сдача составила бы не более 99$n$ – меньше половины потраченного. Поэтому другие покупки есть. Но тогда у Пети было не менее 2$n$ + 1 сторублёвки, а мелочи в конце стало не больше 99$n$ + 99. Значит, $50(2n + 1)\leqslant 99n + 99$, откуда $n\leqslant 49$. Таким образом, мелочи останется не более 99·49 + 99 < 5000 руб. Значит, и потрачено менее 5000 рублей.
Ответ
Не мог.
Замечания
9 баллов
