|
|
 |
Условие
Алёша задумал натуральные числа $a, b, c$, а потом решил найти такие натуральные $x, y, z$, что $a$ = НОК($x, y), b$ = НОК($x, z), c$ = НОК($y, z$). Оказалось, что такие $x, y, z$ существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа $a$ и $b$. Докажите, что Боря может восстановить $c$.
Решение
Пусть произвольное простое $p$ входит в $x, y, z$ в степенях $k \geqslant l \geqslant m$. Если $l$ > 0, то можно изменить $m$ в пределах от 0 до l, не меняя $a, b, c$. Поэтому $x, y, z$ попарно взаимно просты. Значит, $a = xy, b = xz, c = yz = \frac{\mbox{НОК}(a,b)}{\mbox{НОД}(a,b)}$.
Замечания
1. Если для произвольных попарно взаимно простых $k, l, m$ задумать числа $kl, lm, mk$, то $x, y, z$ действительно найдутся единственным образом.
2. 5 баллов.
