Задача 66945

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Кухарчук И.

В параллелограмме $ABCD$ точки $E$ и $F$ выбираются на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно так, что $EF=ED=DC$. Пусть $M$ – середина $BE$, а $MD$ пересекает $EF$ в точке $G$. Докажите, что углы $EAC$ и $GBD$ равны.

Решение

Обозначим точку пересечения прямых $AD$ и $BG$ через $H$. Так как $BE\parallel FH$, а $GM$ – медиана треугольника $BEG$, то $GD$ – медиана треугольника $GFH$. Поскольку $CE\parallel DFH$ и $CD=DE=EF$, получаем, что отрезок $CH$ также равен эти трем отрезкам.

Рассмотрим треугольники $ACE$ и $BHD$. Как показано выше, $CE=DH$. Так как $AB=CD=DE$ и $AD\parallel BE$, то $ABED$ – равнобокая трапеция, т.е. $AE=BD$. Аналогично получаем, что $ABCH$ – равнобокая трапеция и $AC=BH$.

Таким образом треугольники $ACE$ и $BHD$ равны. Следовательно, $\angle CAE=\angle HBD=\angle GBD$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	9 [8-9 кл]