ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66951
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Авторы: Mudgal A., Tejaswi N.V.

Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть описанная окружность $k$ пятиугольника $APBCQ$ вторично пересекает прямую $AM$ в точке $N$. Из условия получаем, что треугольники $AMB$ и $CMA$ подобны. Так как $\angle BCN=\angle BAM$, $\angle CBN=\angle CAM$, треугольник $CNB$ также подобен им. Следовательно, $AB:AC=BM:AM=BN:NC$, т.е. четырехугольник $ABNC$ гармонический и $M$ – середина $AN$.

Докажем, что четырехугольник $APNQ$ гармонический. Пусть $PM$ вторично пересекает $k$ в точке $R$. Тогда $\angle NMR=90^{\circ}-\angle BMN$, $\angle AMQ=\angle AMC-90^{\circ}$. Поскольку $\angle BMN+\angle AMC=\angle BAC+\angle BNC=180^{\circ}$, то $\angle NMR=\angle AMQ$, вместе с равенством $AM=MN$ это означает, что точки $Q$ и $R$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AN$. Следовательно, $\smile AQ=\smile NR$ (см.рис.), а значит, $\angle MPN=\angle NPR=\angle APQ=\angle ANQ=\angle MNQ$. Аналогично, $\angle MQN=\angle AQP=\angle MNP$. Поэтому треугольники $APQ$, $MPN$ и $MNQ$ подобны и $APNQ$ – гармонический четырехугольник.

Чтобы закончить решение заметим, что прямая $BP$ делит отрезок $AN$ внешним образом в отношении $S_{BAP}:S_{BNP}=(AB\cdot AP):(BN\cdot PN)$. Аналогично, $CQ$ делит $AN$ внешним образом в отношении $(AC\cdot AQ):(CN\cdot QN)$. Так как четырехугольники $ABNC$ и $APNQ$ гармонические, эти отношения равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 15 [9-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .