|
|
 |
Условие
В пространстве даны шесть точек общего положения. Для каждых двух из них покрасим красным точки пересечения (если они есть) отрезка между ними и поверхности тетраэдра с вершинами в четырех оставшихся точках. Докажите, что число красных точек четно.Решение
Красная точка является пересечением отрезка между какими-то двумя из данных точек и внутренности треугольника, образованного какими-то тремя другими точками. Таким образом, каждой красной точке соответствуют отрезок и треугольник.
Рассмотрим всевозможные разбиения данных точек на две тройки $T_1$ и $T_2$. Число таких разбиений равно $C_6^3/2=10$. Покажем, что для каждого разбиения есть четное количество красных точек $P$ таких, что треугольник, соответствующий $P$, совпадает с $T_1$ или $T_2$. Так как каждая красная точка соответствует ровно одному разбиению, это докажет утверждение задачи.
Рассмотрим произвольное разбиение $T_1=\{A, B, C\}$, $T_2=\{P, Q, R\}$. Пусть $\ell$ – прямая, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $PQR$ (если плоскости параллельны, разбиению не соответствует ни одной красной точки). Пусть $\ell$ пересекает треугольники $T_1$, $T_2$ по отрезкам $t_1$, $t_2$ соответственно (если одно из множеств $t_1$, $t_2$ пусто, соответствующих разбиению красных точек нет). Красная точка, соответствующая разбиению – это конец одного из отрезков $t_1$, $t_2$, лежащий внутри другого отрезка.
Концы отрезков $t_1$, $t_2$ могут располагаться на $\ell$ тремя способами: $t_1$ и $t_2$ не пересекаются (0 красных точек); $t_1$ и $t_2$ пересекаются, но ни один из отрезков не лежит внутри другого (2 красных точки); один из отрезков $t_1$, $t_2$ содержится в другом (2 красных точки). Во всех случаях число красных точек четно.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2021 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 23 [10-11 кл] |
