ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66961
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ADC$. Известно, что $AB=1$. Найдите длины остальных сторон и углы четырехугольника.

Решение

Так как центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$ лежат на серединном перпендикуляре к $AC$, эти треугольники равнобедренные. Кроме того, поскольку центры описанных окружностей лежат вне этих треугольников, углы $B$ и $D$ тупые. Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $\angle AOC=360^{\circ}-2\angle B$. С другой стороны, так как $O$ – центр вписанной окружности треугольника $ADC$, то $\angle AOC=90^{\circ}+\angle D/2$. Аналогично получаем, что $360^{\circ}-2\angle D=90^\circ+\angle B/2$, откуда $\angle B=\angle D=108^{\circ}$ и $ABCD$ – ромб.


Ответ

$BC=CD=DA=1$, $\angle A=\angle C=72^{\circ}$, $\angle B=\angle D=108^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .