Условие
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?
Решение
Предположим противное. Пусть длины сторон многоугольника равны 1. Будем считать, что сторона $AB$ горизонтальна, а многоугольник лежит над ней. Рассмотрим полосу, ограниченную перпендикулярами к отрезку $AB$ в его концах.Так как углы в вершинах $A$ и $B$ тупые, вершины, соседние с $A$ и $B$, лежат по разные стороны от этой полосы. Поэтому найдется вершина $C$, лежащая внутри полосы. В треугольнике $ABC$ тупым может быть только угол $C$, значит, расстояние от $C$ до прямой $AB$ меньше $1/2$. Из двух вершин, соседних из $C$, хотя бы одна лежит ниже $C$, пусть это правая вершина. Рассмотрим самую правую вершину $D$ многоугольника. Обе соседних с ней вершины лежат между прямой $AB$ и параллельной ей прямой, проходящей через $C$. Так как расстояние между этими прямыми меньше $1/2$, каждая из соответствующих сторон образует с вертикалью угол, больший $60^{\circ}$, следовательно, $\angle D<60^{\circ}$ – противоречие.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
